设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=10，则直线l的方程为（）A.y=5x+1B.y=4x+1C.y=3x+1D.y=3x+1

Question

设直线l与曲线f（x）=x³+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=√(10)，则直线l的方程为（　　）
A. y=5x+1
B. y=4x+1
C. y=√(3)x+1
D. y=3x+1

Answer 1

由题意，曲线f（x）=x³+2x+1是由g（x）=x³+2x，向上平移1个单位得到的，
函数g（x）=x³+2x是奇函数，对称中心为（0，0），
曲线f（x）=x³+2x+1的对称中心：B（0，1），
设直线l的方程为y=kx+1，
代入y=x³+2x+1，可得x³=（k-2）x，∴x=0或x=±√(k−2)
∴不妨设A（√(k−2)，k√(k−2)+1）（k＞2）
∵|AB|=|BC|=√(10)
∴（√(k−2)-0）²+（k√(k−2)+1-1）²=10
∴k³-2k²+k-12=0
∴（k-3）（k²+k+4）=0
∴k=3
∴直线l的方程为y=3x+1
故选：D．