已知，在等边△ABC中，AB=23，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°<α<180°），记射线CE1与AD1

Question

已知，在等边△ABC中，AB=2 √(3)，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD₁E₁，设旋转角为α（0°<α<180°），记射线CE₁与AD₁的交点为P．
（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE₁与AD₁的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为___．（直接填写结果）

Answer 1

（1）∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE=(1)/(2)BC，BD=(1)/(2)BA，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE为等边三角形；
（2）①CE₁=AD₁．理由如下：
∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD₁E₁，
∴△BD₁E₁为等边三角形，
∴BD₁=BE₁，∠D₁BE₁=60°，
而∠ABC=60°，
∴∠ABD₁=∠CBE₁，
∴△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到，
∴CE₁=AD₁；
②∵△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到，
∴∠BAD₁=∠BCE₁，
∴∠APC=∠ABC=60°；
（3）∵∠APC=∠D₁BE₁=60°，
∴点P、D₁、B、E₁共圆，
∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E₁在AB上，
在Rt△PBC中，PB=(√(3))/(3)AB=(√(3))/(3)×2√(3)=2，
∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．
故答案为2．