（2013•三元区质检）已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B、C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）一动点P从点A出发，沿AC

Question

（2013•三元区质检）已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax²+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴

100a+10b＝5

144a+12b＝0

，
解得

a＝−(1)/(4)

b＝3

，
∴抛物线的函数表达式为y=-(1)/(4)x²+3x；

（2）根据勾股定理，AC=√(OA2+OC2)=√(52+122)=13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=(CQ)/(CP)=(OC)/(AC)，
即(t)/(13−2t)=(12)/(13)，
解得t=

作业帮用户 2017-11-09

问题解析

（1）先写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长，再求出点P到达点C的时间，然后表示出CP、CQ的长，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后分①AC是平行四边形的边时，分点M在对称轴左边与右边两种情况求出点M的横坐标，然后代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而求出点M的坐标，再根据点A、C的纵坐标的差距求出点N的纵坐标，然后写出点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可知点M为抛物线的顶点坐标，再根据中点求出点N即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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