已知0＜c＜b＜a,求证：a^ab^bc^c＜（abc）^a+b+c/3

Question

已知0＜c＜b＜a,求证：a^a b^b c^c＜（abc）^a+b+c/3

Answer 1

应该是证明:a^ab^bc^c>=(abc)^(a+b+c)/3吧?
证：要证原不等式
即证 a^3a*b^3b*c^3c≥ (abc)^(a+b+c)
∵a＞0,b＞0,c＞0
∴ (abc)^(a+b+c)＞0,a^3a*b^3b*c^3c＞0
相除有(a^3a*b^3b*c^3c)/(abc)^(a+b+c)≥1
化简a^(2a-b-c)*b^(2b-a-c)*c^(2c-a-b)≥1
再化简 a^[(a-b)-(c-a)]*b^[(b-c)-(a-b)]*c^[(c-a)-(b-c)]≥1
即（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴要证原不等式
即证（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∵（a/b）^(a-b)≥1（分a＞b,a＜b讨论下就知道了）
同理)(b/c)^(b-c）≥1
(c/a)^(c-a)≥1
∴（a/b）^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴原不等式成立
证明如下：
1、如果a＞b,那么：a－b＞0,且（a/b）＞1,
　　∴此时（a/b）^（a－b）＞1.
2、如果a＝b,那么：a－b＝0,且（a/b）＝1,
　　∴此时（a/b）^（a－b）＝1.
3、如果a＜b,那么：b－a＞0,且（b/a）＞1,
　　∴此时（a/b）^（a－b）＝［（b/a）^（－1）］^［－（b－a）］＝（b/a）^（b－a）＞1.
∴无论a、b的大小如何,都有：（a/b）^（a－b）≥1,∴［（a/b）^a］/［（a/b）^b］≥1,
∴（a/b）^a≥（a/b）^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有：a^a×c^c≥a^c×c^a,　　c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴（a^a×b^b）（a^a×c^c）（c^c×b^b）≥（a^b×b^a）（a^c×c^a）（c^b×b^c）,
∴（a^a×b^b×c^c）^2≥a^（b＋c）×b^（a＋c）×c^（a＋b）,
∴（a^a×b^b×c^c）^3≥a^（a＋b＋c）×b^（a＋b＋c）×c^（a＋b＋c）＝（abc）^（a＋b＋c）
∴a^a×b^b×c^c≥√［（abc）^（a＋b＋c）］＝（abc）^［（a＋b＋c）/3］.
即：a^a×b^b×c^c≥（abc）^［（a＋b＋c）/3］.