在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b-a）cosC=ccosA．（1）求角C的大小；（2）若sinA+sinB=26sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b-a）cosC=ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=2√(6)sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由于（2b-a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，
因为sinB≠0，所以cosC=(1)/(2)，
因为0<C<π，所以C=(π)/(3)．
（2）设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R=(c)/(sinC)=(3)/(sin(π)/(3))=2√(3)，
由sinA+sinB=2√(6)sinAsinB得，2R（a+b）=2√(6)ab，即a+b=√(2)ab，①
由余弦定理得，a²+b²-ab=9，即（a+b）-3ab-9=0，②
将①式代入②得2（ab）²-3ab-9=0，解得 ab=3或ab=-(3)/(2)（舍去），
所以S_△ABC=(1)/(2)absinC=(3√(3))/(4)．