某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区M（如图所示），M是OA上一点，M与BC相切

Question

某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区 M（如图所示），M是OA上一点， M与BC相切，观景台的两端A、O到 M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA=60米，OB=170米，tan∠OBC=(4)/(3)．

（1）求栈道BC的长度； 
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？

Answer 1

（1）如图1，过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，
∵∠ACB=90°∠BEC=90°，
∴∠ACF=∠CBE，
∴tan∠ACF=tan∠OBC=(4)/(3)，
设AF=4x，则CF=3x，
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x，EF=OA=60，
∴CE=3x+60，
∵tan∠OBC=(4)/(3)．
∴BE=(3)/(4)CE=(9)/(4)x+45，
∴OB=OE+BE=4x+(9)/(4)x+45，
∴4x+(9)/(4)x+45=170，
解得：x=20，
∴CE=120（米），BE=90（米），
∴BC=√(BE2+CE2)=150（米）．
（2）如图2，设BC与 M相切于Q，延长QM交直线BO于P，
∵∠POM=∠PQB=90°，
∴∠PMO=∠CBO，
∴tan∠OBC=(4)/(3)．
∴tan∠PMO=(4)/(3)．
设OM=x，则OP=(4)/(3)x，PM=(5)/(3)x，
∴PB=(4)/(3)x+170，
在RT△PQB中，tan∠PBQ=(PQ)/(BQ)=(4)/(3)．
∴(PQ)/(PB)=(4)/(5)，
∴PQ=(4)/(5)（(4)/(3)x+170）=(16)/(15)x+136，
设 M的半径为R，
∴R=MQ=(16)/(15)x+136-(5)/(3)x=136-(3)/(5)x，
∵A、O到 M上任意一点的距离均不小于80米，
∴R-AM≥80，R-OM≥80，
∴136-(3)/(5)x-（60-x）≥80，136-(3)/(5)x-x≥80，
解得：10≤x≤35，
∴当且仅当x=10时R取最大值，
∴OM=10米时，保护区的面积最大．