函数可导性与连续性的关系的证明为什么要多一步设函数y=f(x)在点x可导即limΔx→0Δy/Δx=f'(x)存在由具有极限的函数与无穷小的关系知道Δy/Δx=f'(x)+α其中α为当Δx→0时的无穷小上式两边同

Question

函数可导性与连续性的关系的证明为什么要多一步
设函数y=f(x)在点x可导 即limΔx→0Δy/Δx=f'(x)存在 由具有极限的函数与无穷小的关系知道 Δy/Δx=f'(x)+α其中 α为当Δx→0时的无穷小 上式两边同乘以Δx 得Δy=f'(x)Δx+αΔx 由此可见 当Δx→0时 Δy→0 这就是说 函数y=f(x)在点x处是连续的 所以 如果函数y=f(x)在点x处可导 则函数在该点必连续
以上的证明中 我有一点搞不明白的是 为什么不直接用limΔx→0Δy=f'(x)Δx或者Δy=f'(x)Δx 而是用Δy/Δx=f'(x)+α Δy=f'(x)Δx+αΔx 这样有什么用意吗?

Answer 1

Δy/Δx=f'(x) 即你说的Δy=f'(x)Δx 这个式子是不成立的,
Δy/Δx=f'(x)+α 才成立