在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB=10，BF=4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，

Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB=10，BF=4，求PG的长；
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

（1） 如图1：

延长GP交DC于点E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∵△BGF是等边三角形，
∴FG=BG，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，
∵AB=10，BF=4；
∴CG=6
∴PG=3√(3)
（2）如图2，

证明：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中

∠EDP=∠GFP

DP=FP

∠DPE=∠FPG

∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=∠CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，

CD=CB

∠CDE=∠CBE=60°

DE=BG

∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=(1)/(2)∠ECG=60°
∴PG=√(3)PC．
（3）猜想：PG=√(3)PC．
证明：如图3，

延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等边三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=√(3)PC．