已知圆，圆上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，得一椭圆E，(1)求椭圆E的方程，并证明椭圆E的离心率是与无关的常数；(2)

Question

已知圆 ，圆上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 倍，得一椭圆 E ，

(1) 求椭圆 E 的方程，并证明椭圆 E 的离心率是与 无关的常数；

(2) 若 m=1 ，是否存在直线 过 P(0 ， 2) ，与椭圆交于 M 、 N 两点，且满足 =0(O 为坐标原点 )? 若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 设 M(u ， ) 是圆上任一点， N( ， y) 是椭圆上的对应点，

则 = u ， y= ，即 代入圆方程得 ．

即椭圆 E 的方程为 ，椭圆的长半轴为 m ，短半轴长为 m

半焦距为 m. 离心率 与 m 无关。

(2) 椭圆方程为 ．

假设存在直线 ： （ k 存在，且 k ≠ 0 ） ，代入椭圆方程．

整理，得 (1+

    ∴ △ =( ) ² － 36(1+3 )>0 ．

    解得 < 一 1 或 >1 ．     ①

    设 M( ， ) ，   ( ， ) ，则 + = － ， =

∵

∴ + =0

即 +(k +2)(k +2)=0 ，∴ (1+k ² ) +2k( + )+4=0

∴

解得 满足式①，∴满足条件的直线 存在，其方程为 =