已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．（l）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向

Question

已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（l）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则：I）阴影部分面积为______；Ⅱ）圆扫过的区域面积为______．

Answer 1

（1）

由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）

圆扫过的区域面积=圆经过AB扫过的面积+经过BC扫过的面积-图2中红线围成区域的面积（即是(3)/(4)个圆的面积+一个边长为r的正方形的面积），
结合（1）的求解方法，可得所求面积=（2r×AB+πr²）+（2r×BC+πr²）-（(3)/(4)πr²+r²）=2r（AB+BC）+(5)/(4)πr²-1=（27+(5)/(4)π）cm²．
（3）根据题意补充图形如下所示，

连接MH，AG和AD；连接ON、CP和CF，
∵AG⊥GD，AH⊥DH，AG=AH=1cm，
∴DA为∠GDH的角平分线（角平分线性质定理的逆定理），
∴∠ADG=∠ADH=(1)/(2)∠GDH=(1)/(2)∠EDF，
∵sin∠EDF=sin∠BAC=(4)/(5)，cos∠EDF=cos∠BAC=(3)/(5)，
∴tan∠ADG=(AG)/(GD)=tan(1)/(2)∠EDF=(sin∠EDF)/(1+cos∠EDF)=((4)/(5))/(1+(3)/(5))=(1)/(2)，
∴DG=DH=2cm，
同理可求出：FP=FO=3cm，
∴DE=AB-DH-r=6-2-1=3cm，EF=BC-FO-r=8-3-1=4cm，
故阴影部分的面积为：(1)/(2)×3×4=6cm²；
而此时圆扫过的区域面积=题（2）中扫过的面积+圆经过CA扫过的面积-（图3中两个蓝线所画阴影部分的面积），
∵∠MAG+∠GAB=∠GAB+∠BAC=90°，
∴∠MAG=∠BAC，
同理可求出：∠PCN=∠BCA，
∴∠MAG+∠PCN=∠BAC+∠BCA=90°，
∴图3中两个蓝线所画阴影部分的面积=（△AGD+△AHD+△FPC+△FOC+(5)/(4)个圆）的面积=2×(1)/(2)×1×2+2×(1)/(2)×1×3+(5)/(4)•π•1²=（5+(5)/(4)π）cm²，
又圆经过CA扫过的面积=2r×AC+πr²=（20+π）cm²，
∴圆扫过的区域面积=（27+(5)/(4)π）+（20+π）-（5+(5)/(4)π）=（42+π）cm²．