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阅读下面材料:在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题,有如下思路:连
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阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决以下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决以下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形EFGH是平行四边形,理由如下:
如图2,连接AC,
∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF=
AC,
同理HG∥AC,HG=
AC,
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形EFGH是平行四边形;
(2)①当AC=BD时,四边形EFGH为菱形;理由如下:
由(1)得:FG=
BD,HG=
AC,
当AC=BD时,FG=HG,
∴四边形EFGH为菱形;
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;
理由如下:
同(1)得:四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
如图2,连接AC,
∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF=
1 |
2 |
同理HG∥AC,HG=
1 |
2 |
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形EFGH是平行四边形;
(2)①当AC=BD时,四边形EFGH为菱形;理由如下:
由(1)得:FG=
1 |
2 |
1 |
2 |
当AC=BD时,FG=HG,
∴四边形EFGH为菱形;
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;
理由如下:
同(1)得:四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
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