设limf(x)存在,且n为正整数,那么lim[f(x)]^n=[limf(x)]^n,进一步思考,能否将n推广到负整数,分数,甚至无理数?

Question

设limf(x)存在,且n为正整数,那么lim[f(x)]^n=[limf(x)]^n,进一步思考,能否将n推广到负整数,分数,甚至无理数?

Answer 1

我认为对所有分数是不可以的.比如
f(x)=x+1
lim(x→-1)f(x)=0
如果是负分数的话,会有如n=1/2,1/4,1/6这样的情况,这种涉及到开偶次方的情况下
[f(x)]^(1/2)=√(x+1),这个函数是没有左极限的,因为x＜-1根本就没有定义,故而lim[f(x)]^n极限不存在.