如果一个数m可以表示为3x^2-8xy+6y^2(x,y是整数)的形式,则称m为好数1、你认为好数的特征是什么?判断34是否为好数?2、写出1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的好数3、如果n也是好数,那么mn是否为好数?为什么?

Question

如果一个数m可以表示为3x^2-8xy+6y^2(x,y是整数)的形式,则称m为好数
1、你认为好数的特征是什么?判断34是否为好数?
2、写出1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的好数
3、如果n也是好数,那么mn是否为好数?为什么?

Answer 1

1. 3x²-8xy+6y² = (x²-4xy+4y²)+2(x²-2xy+y²) = (x-2y)²+2(x-y)².
若m是好数, 则m具有u²+2v²的形式, 其中u, v为整数.
反之, 若m = u²+2v², 可取x = 2v-u, y = v-u, 则m = (x-2y)²+2(x-y)²为好数.
因此, 好数可以刻画为具有u²+2v²形式的数.
由34 = 4²+2·3², 可知34为好数.
2. 1 = 1²+2·0², 2 = 0²+2·1², 3 = 1²+2·1², 4 = 2²+2·0², 6 = 2²+2·1², 8 = 0²+2·2², 9 = 3²+2·0².
而不难枚举验证5, 7, 10都不具有u²+2v²形式.
因此1至10中的好数为1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.
3. 若m, n均为好数, 可设m = u²+2v², n = s²+2t².
有mn = (u²+2v²)(s²+2t²) = (u²s²+4v²t²)+2(u²t²+v²s²)
= (u²s²+4usvt+4v²t²)+2(u²t²-2utvs+v²s²)
= (us+2vt)²+2(ut-vs)².
故mn也为好数.
注: 在代数数论中可以对具有u²+2v²形式的数得到更细致的刻画:
一个正整数m具有u²+2v²形式, 当且仅当m的8k+5与8k+7型的质因数的指数都是偶数.