1.有一列数1、1、2、3、5、8、13、......从第三个数起，每个数都是前面两个数之和。求这个数列中第2003个数除以8的余数。2.在1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字乘积

Question

1.有一列数1、1、2、3、5、8、13、......从第三个数起，每个数都是前面两个数之和。
求这个数列中第2003个数除以8的余数。
2.在1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字乘积的个位数，这样得到198928688......
这串数字从1开始，往右数第2005个数字是多少?这些数字的和是多少？
3.2（2003）+3（2003）+4（2003)+5(2003)的个位数字是几？（把我打括号的 2003 看小一点。）
4.有一个2006位整数，每个数位上的数字都是3。它除以13，商的个位数字是几？

Answer 1

1.这是斐波那契数列An=(1/√5)*[(1+√5/2)^n-(1-√5/2)^n],(n=1,2,3...).
数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、...,除以8的余数相应地为1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、...,表明余数是以1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0为12位数循环节出现的；2003=12*166+11,知所求余数为1.
（ps,没有想到更简便的方法,只好死算了那么多）
2.多写几位可以发现规律,1989,286884,286884,...即从第五位数出现六个数字的循环节.2005-4=6*333+3,知第2005个数字是6.
这些数字的和是 (1+9+8+9)+(2+8+6+8+8+4)*333+2+8+6=12031.
3.2003是幂吗,原式=2^(2003)+3^(2003)+4^(2003)+5^(2003)
4的奇数次方的个位数是4,偶数次方的个位数是6；
9的奇数次方的个位数是9,偶数次方的个位数是1；
5的幂次方的个位数是5；
==>2^(2003)=4^(1001)*2,知个位数是4*2=8；
3^(2003)=9^(1001)*3,个位数9*3=27,知个位数是7；
4^(2003)个位数是4；5^(2003)个位数是5；
==> 8+7+4+5=24,知原式所求个位数是4.
4.由于 333333=25641*13,说明全是3的数从左起每六位即被13整除,
因为 2006=334*6+2,所以前2004位全是3的数被13整除,余下33=13*2+5,
知所求商的个位数字是5.