如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥P-A

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：∵PC²=PA²+AC²，PB²=PA²+AB²
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
又∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC
（2）取PC中点G，连接AG、BG，
∵PF：FC=3：1，∴GF=FC
又因为D、E分别是BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥DF，
又AG∩BG=G，EF∩EF=F，
∴平面ABG∥平面DEF；
（3）由题意可得△ABC的面积为(1)/(2)×5×√(42−((5)/(2))2)=(5√(39))/(2)
由于PA⊥平面ABC，故棱锥的高即为PA=3
故三棱锥P-ABC的体积V=(1)/(3)×(5√(39))/(2)×3=(5√(39))/(2)