以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆的四个不同点,顺次连接着四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率?

Question

以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆的四个不同点,顺次连接着四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率?

Answer 1

要求离心率,主要是方程思想
圆的半径r=c,
且由题意得点（-c/2,（根号3）c/2）在椭圆上,带入椭圆方程
得c^2/(4a^2)+3c^2/4b^2=1
再把b^2换成a^2-c^2
得8a^2c^2-c^2-4a^4=0
两边同时除以a^4
得e^4-8e^2+4=0
解得e^2=4+2*根号3或4-2*根号3
由于椭圆离心率在0 1之间
舍第一个值e=根号下4-2*根号3
等于根号3-1