高二椭圆的问题已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2倍根号2,一个焦点F的坐标为(c,0)(c>0),一个定点A的坐标为(10/c-c,0)(c分之10减去c),且向量OF=2*向量FA,过点A的直线与椭圆相交于两点P,Q.(1)

Question

高二椭圆的问题
已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2倍根号2,一个焦点F的坐标为(c,0)(c>0),一个定点A的坐标为(10/c-c,0)(c分之10减去c),且向量OF=2*向量FA,过点A的直线与椭圆相交于两点P,Q.
(1)求椭圆的方程 (2)若OP⊥OQ,求直线PQ的方程.

Answer 1

1、 向量OF=2*向量FA,过点A的直线与椭圆相交于两点
则点A在X轴上且位于焦点和长轴端点之间
3c=2(10/c-c)
c=2
短轴长为2倍根号2 则b=根号2
a=根号6
椭圆的方程
x^2/6+y^2/2=1
2、A（3,0） P(x1,y1) Q(x2,y2)
设直线PQ的方程
y=k(x-3)
代入椭圆方程
x^2+3k^2(x-3)^2=6
(1+3k^2)x^2-18k^2 x+27k^2-6=0
x1+x2=18k^2/(1+3k^2)
x1x2=(27k^2-6)/(1+3k^2)
y1y2=k^2(x1-3)(x2-3)
OP⊥OQ
则y1y2=-x1x2
解出k