如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（1，1），若双曲线y=kx（x>0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是．

Question

如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（1，1），若双曲线y= (k)/(x)（x>0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是___．

Answer 1

若双曲线与△ABC有公共点，则双曲线向下最多到点C，向上最多到与直线AB只有一个交点，

当过点C时，把C点坐标代入双曲线解析式可得1=(k)/(1)，解得k=1；
当双曲线与直线AB只有一个交点时，设直线AB解析式为y=ax+b，
∵A（1，4），B（4，1），
∴把A、B两点坐标代入可得

4=a+b

1=4a+b

，解得

a=-1

b=5

，
∴直线AB的解析式为y=-x+5，
联立直线AB和双曲线解析式可是

y=(k)/(x)

y=-x+5

，消去y整理可得x²-5x+k=0，
则该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-5）²-4k=0，解得k=(25)/(4)，
∴k的取值范围为：1≤k≤(25)/(4)．