lim(x→0）∫(取值0到x^2)sint^(1/2)dt/x^3此题应该用罗必达法则运算,但是变换的时候用到lim(x→0）sinX/X=1,可是到了这一步就不会整理了.

Question

lim(x→0）∫(取值0到x^2)sint^(1/2)dt/x^3
此题应该用罗必达法则运算,但是变换的时候用到lim(x→0）sinX/X=1,可是到了这一步就不会整理了.

Answer 1

首先,[∫(0到x^2)sint^(1/2)dt]'属于复合函数求导问题,定积分是上限x^2的函数,x^2又是x的函数,利用复合函数求导法则和变上限定积分定理,可以得到
[∫(0到x^2)sint^(1/2)dt]'
=[∫(0到x^2)sint^(1/2)dt]'_x^2 (x^2)'
=[sin√(x^2)]2x
=2xsinx (x>0)
注:_x^2表示定积分对x^2求导
因此由罗必达法则得到
lim(x→0）[∫(取值0到x^2)sint^(1/2)dt]/(x^3)
=lim(x→0）[∫(取值0到x^2)sint^(1/2)dt]'/(x^3)'
=lim(x→0）(2xsinx)/(3x^2)
再利用lim(x→0）sinx/x=1
得到结果=2/3