求1+3+6+10+15+21…前100项之和

Question

求1+3+6+10+15+21…前100项之和

Answer 1

以数列{a[n]}表示1,3,6,10,15,21,
设b[n]=a[n+1]-a[n],即相邻两项之差,2,3,4,5,6,...所以数列{b[n]}是以2为首项1为公差的等差数列,b[n]=n+1
a[n]-a[n-1]=b[n-1]
a[n-1]-a[n-2]=b[n-2]
...
a[2]-a[1]=b[1]
等式左侧和右侧分别相加,有a[n]-a[1]=b[1]+...+b[n-1]=2(n-1)+(n-1)(n-2)/2=(n-1)(n+2)/2
∴a[n]=1+(n-1)(n+4)/2=n(n+1)/2
Sn=Σn(n+1)/2=1/2 Σ(n²+n)=1/2 (Σn²+Σn)
=1/2 *{ [n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+1)/2 }
=1/2 * n(n+1)/6 * (2n+1+3)
=n(n+1)(n+2)/6
∴S[100]=100*101*102/6=171700
【说明：Σ表示求和,Σn²就可以理解成是通项公式为n²的数列的前n项和,Σn²= [n(n+1)(2n+1)]/6】