设四维向量组α1=（1，1，4，2）T，α2=（1，-1，-2，b）T，α3=（-3，-1，a，-9）T，β=（1，3，10，a+b）T．问：（Ⅰ）当a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出；（Ⅱ）当a，b取何值时，β能

Question

设四维向量组α₁=（1，1，4，2）^T，α₂=（1，-1，-2，b）^T，α₃=（-3，-1，a，-9）^T，β=（1，3，10，a+b）^T．问：
（Ⅰ）当a，b取何值时，β不能由α₁，α₂，α₃线性表出；
（Ⅱ）当a，b取何值时，β能由α₁，α₂，α₃线性表出，并写出此时的表达式．

Answer 1

设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β，对增广矩阵

.

A

＝(α1，α2，α3⋮β)作初等行变换得

.

A

＝

1	1	−3	⋮	1
1	−1	−1	⋮	3
4	−2	a	⋮	10
2	b	−9	⋮	a+b

→

1	1	−3	⋮	1
0	1	−1	⋮	−1
0	0	a+6	⋮	0
0	0	b−5	⋮	a+2b−4

．
（Ⅰ）当a≠-6且a+2b≠4时，

.

A

→√(11−3⋮101−1⋮−10作业帮用户2016-11-19问题解析（Ⅰ）不能线性表出则说明x1α1+x2α2+x3α3=β系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等．（Ⅱ）可以线性表示，则说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等，由此可以求出基础解系或唯一解，根据a，b取值．名师点评本题考点：线性表示的充要条件；线性组合与线性表示．考点点评：本题主要考查线性表示的充要条件以及线性组合和线性表示，解答该类似讨论取值的问题，需要一步一步分析清楚，逻辑思维强，本题属于基础题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)