（2011•静安区二模）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

Question

（2011•静安区二模）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD=(1)/(3)OB时，求⊙O₁的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=(1)/(2)AC＝(1)/(2)x，OE=√(AO2−AE2)＝√(25−(1)/(4)x2)．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴(OD)/(OE)＝(AO)/(AE)，∵OD=y+5，∴(y+5)/(√(25−(1)/(4)x2))＝(5)/((x)/(2))．
∴y关于x的函数解析式为：y＝(5√(100−x2)−5x)/(x)．
定义域为：0＜x＜5√(2)．（1分）

（2）当BD=(1)/(3)OB时，y＝(5)/(3)，(5)/(3)＝

作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得

(OD)/(OE)＝(AO)/(AE)，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（2）当BD=(1)/(3)OB时，根据（1）的函数关系式求得y=(5)/(3)，x=6．分两种情况来解答O₁A的值①当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2；②当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6；
（3）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=(1)/(2)∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=(180−45°)/(2)＝67.5°，然后由三角形的内角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系．

考点点评：

本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解．

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