求解一最值题f(x)=ax^2+bx+c在R上恒非负,求M=(a+b+c)/(b-a)的最小值.注:我记得有一个解法是根据德尔塔可是最小值是-2啊~

Question

求解一最值题
f(x)=ax^2+bx+c在R上恒非负,
求M=(a+b+c)/(b-a)的最小值.
注:我记得有一个解法是根据德尔塔
可是最小值是-2啊~

Answer 1

由于二次函数的值恒为非负数
所以 a>0 ,△=b^2-4ac≤0,推出c≥b^2/(4a)
所以(a+b+c)/(b-a) ≥[a+b+b^2/(4a)]/(b-a)
=[1+b/a+(1/4)×(b/a)^2]/[(b/a)-1](注:同时除以a)
可设y=[1+b/a+(1/4)×(b/a)^2]/[(b/a)-1]
推出(1/4)×(b/a)^2+(1-y)(b/a)+1+y=0
利用△≥0,即(1-y)^2-4×1/4(1+y)≥0,推出y≥3或者y≤0
当a1,设b/a为x,则x1+x2=4(y-1)>2,推出y>3/2
所以y≥3 所以M最小值为3
当a>b,得b/a