怎么证明shx>x我已经知道做了，你SHX就搞错了，应该是减号，不用这么麻烦就能做出来

Question

怎么证明shx>x
我已经知道做了，你SHX 就搞错了，应该是减号，不用这么麻烦就能做出来

Answer 1

证明：
shx=( e^x+1/e^x) /2
设f(x)=shx-x=(e^x+1/e^x)/2-x
求导：
f'(x)=(e^x-1/e^x)/2 -1
再次求导：
f''(x)=(e^x+1/e^x)/2>0
所以：
f'(x)是单调递增函数,在R上存在唯一的零点
f'(x)=(e^x-1/e^x)/2-1=0
e^x-1/e^x=2
(e^x)^2-2e^x-1=0
解得：e^x=1+√2（负值不符合舍去）
x=ln(1+√2)0,f(x)是单调递增函数
x=ln(1+√2)时,f(x)取得最小值
所以：
f(x)>=f [ ln(1+√2) ]
=[ 1+√2+1/(1+√2) ] /2 -ln(1+√2)
=(1+√2+√2-1) /2-ln(1+√2)
=√2-ln(1+√2)
>0
所以：f(x)=(e^x+1/e^x)/2-x>0
即有：shx>x