（2014•建邺区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=42，BC=8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒．（1）当

Question

（2014•建邺区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=4√(2)，BC=8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒．
（1）当⊙P与直线AC相切时，求t的值；
（2）当⊙P与⊙A相切时，求t的值；
（3）延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F．当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

Answer 1

（1）如图1，过点P作PK⊥AC，垂足为点K，
∵⊙P与直线AC相切，
∴BP=PK=t．
∵AB=AC=4√(2)，BC=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△PKC是等腰直角三角形．
∴PC=√(2)PK=√(2)t，
∴t+√(2)t=8．
解得t=8√(2)-8；

（2）如图2，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，则AP²=AM²+PM²，
AM=(1)/(2)BC=4，PM=t-4或4-t，
若⊙P与⊙A外切，则（t+2）²=4²+（t-4）²，
解得t=(7)/(3)．
若⊙P与⊙A内切，则（t-2）²=4²+（t-4）²，
解得t=7．
综上所述，当t=(7)/(3)或t=7时，⊙P与⊙A相切．

（3）当△ABP∽△FBD时，∠D=∠BPA，
∵∠D=∠AED=∠FEP，
∴∠D=∠AED=∠FEP=∠BPA．
∴∠BFD=2∠D．
∵∠D+∠B+∠BFD=180°，
∴∠D=45°，
∴∠BAP=90°．
∴AP与AC重合，
∴t=8．