如图，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角形共有10个．现在将自然数1至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为此三

Question

如图，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角形共有10个．现在将自然数1至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为此三角形的“特征值”．请问：
（1）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；
（2）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被3整除．能则举出例子，不能请说明理由．

Answer 1

（1）不存在，1+2+…+10=55，而10个三角形的顶点中，每个点被算了3次，所以55×3=165=10个特征值的和，若均为偶数，则矛盾；
（2）

不存在，10个数中，4个除以3余1，3个模3余2，3个余0，现考虑下面的图形，因为a+b+e≡a+d+c≡0（mod3），
所以b+e≡d+c（mod3），因为b+c+f≡d+e+f≡0（mod3），
所以b+c≡d+e（mod3），
相减得：2（c-e）≡0（mod3），所以c≡e（mod3），
同理，外圈5个数模3同余，内圈5个数模3同余，
但同余的最多4个，矛盾．