如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．

Question

如图，AB为 O的直径，PD切 O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是 O的切线．
（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；

（2） 在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根据勾股定理得：PD=√(32+42)=5，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD-PC=5-3=2，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4-r，
根据勾股定理得：（4-r）²=r²+2²，
解得：r=(3)/(2)，
∴OP=√(PC2+OC2)=(3√(5))/(2)，
∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，
∴△DEP∽△OBP，
∴(DE)/(OB)=(DP)/(OP)，
∴DE=√(5)．