等比等差数列都有求和公式.如果数列的递进是自乘或乘一个常数再加一个常数的话,还有求和公式吗?

Question

等比等差数列都有求和公式.如果数列的递进是自乘或乘一个常数再加一个常数的话,还有求和公式吗?

Answer 1

数列的递推是自乘的,正数数列时,可用对数转化为自加,然后再求通项公式,最后,再求和.
比如,a(1)=1,a(2)=2,a(n+2)=a(n+1)a(n),a(n)>0.
则,b(n) = ln[a(n)],b(n+2) = ln[a(n+2)] = ln[a(n+1)] + ln[a(n)] = b(n+1) + b(n).
对{b(n)} 可用类似斐波那契数列的方法求通项.然后得到a(n)=e^[b(n)]的通项公式,再尝试求 a(n)的和.
数列的递推是乘一个常数,再加上一个常数时,也是先求通项公式,再求和.
比如,a(1)=1,a(n+1) = ka(n) + b.
k=1时,a(n+1) = a(n)+b,{a(n)}是首项为a(1)=1,公差为b的等差数列.
a(n) = 1 + (n-1)b,
s(n) = n + n(n-1)b/2.
k不为1,b为0时,a(n+1)=ka(n),
{a(n)}是首项为a(1)=1,公比为k的等比数列.
a(n) = k^(n-1).
s(n) = [k^n - 1]/(k-1).
k不为1,b不为0时,
a(n+1) = ka(n) + b,
a(n+1) + b/(k-1) = ka(n) + b + b/(k-1) = ka(n) + bk/(k-1) = k[a(n) + b/(k-1)],
{a(n)+b/(k-1)}是首项为a(1)+b/(k-1)=(k+b-1)/(k-1),公比为k的等比数列.
a(n) + b/(k-1) = [(k+b-1)/(k-1)]k^(n-1),
a(n) = [(k+b-1)/(k-1)]k^(n-1) - b/(k-1).
s(n) = [(k+b-1)/(k-1)][k^n - 1]/(k-1) - nb/(k-1)
= [(k+b-1)/(k-1)^2][k^n - 1] - nb/(k-1).