如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ=90°；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=√(3)，OC=AC=1，
即B（√(3)，1）；

（2）证明：如图2，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵

AP＝AQ

∠PAO＝∠QAB

AO＝AB

，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；

（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①如图2，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=√(3)，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=√(3)，
∴此时P的坐标为（-√(3)，0）．
②如图3，当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2√(3)，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2√(3)，
∴此时P的坐标为（2√(3)，0）．
综上，P的坐标为（-√(3)，0）或（2√(3)，0）．