求证(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2＋?＋(nCn)^2=(2n)C(n)C表示组合数,来中文答案,网上只有英文和日文答案,看不懂,最好不要数学归纳法

Question

求证(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2＋?＋(nCn)^2= (2n)C(n)
C表示组合数,来中文答案,网上只有英文和日文答案,看不懂,最好不要数学归纳法

Answer 1

证明：由(1+x)n (1+x)n=(1+x)2n 比较xn系数有：(Cnn)(C0n）+(Cn-1n)(C1n)+…+(C0n)(Cnn)=Cn2nCrn=Cn-rn上式为(C0n)(C0n）+(C1n)(C1n)+…+(Cnn)(Cnn)=Cn2n即(C0n)2+ (C1n)2+…+ (Cnn)2=Cn2n 原式得证