已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p2=0．（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．

Question

已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求实数p的值．

Answer 1

证明：（1）（x-3）（x-2）-p²=0，
x²-5x+6-p²=0，
△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵无论p取何值时，总有4p²≥0，
∴1+4p²>0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
∴p=±1．