如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．（1）求证：MN=EN；（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与

Question

如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．

（1）求证：MN=EN；
（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．
①写出AN与EM：位置关系___；数量关系___；
②请证明上述结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠CED=∠BCE=90°，
∴BC∥DE，
∴∠MBN=∠EDN，
∵点N恰好是BD中点，
∴BN=DN，
在△BMN和△DEN中，

∠MBN=∠EDN

BN=DN

∠BNM=∠DNE

，
∴△BMN≌△DEN（ASA），
∴MN=EN；

（2）①位置关系：AN⊥EM，数量关系：AN=(1)/(2)EM．
故答案为：AN⊥EM，AN=(1)/(2)EM．

②证明：连接AM，AE，
∵△BMN≌△DEN，
∴BM=DE，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，
∴BM=CE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△ACE中，

AB=AC

∠ABM=∠ACE

BM=CE

，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，
即∠MAE=∠BAC=90°，
∵MN=EN，
∴AN⊥EM，AN=(1)/(2)EM．