求证：在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大（用基本不等式证）

Question

求证：在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大（用基本不等式证）

Answer 1

先证引理：(a+b+c)\3≥(abc)^(1\3)(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)+6abc2(a^3+b^3+c^3)=(a+b)(a^2+b^2-ab)+(b+c)(b^2+c^2-bc)+(c+a)(c^2+a^2-ca)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)≥18abc则(a+b+c)^3≥27abc（a=b=c时等号成立）,引理得证设长方形三棱长为a,b,c,表面积S=2（ab+bc+ca）体积V=abc则由引理S≥6(ab*bc*ca)^(1\3)=6V^(2\3) 既V≤(S\6)^(3\2)(a=b=c时体积最大）所以在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大