已知等边△ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN，MN，解答下列问题：（1）猜想△CMN的形状，并证明你的结论；（2）请你证明CN是O的切线；

Question

已知等边△ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN，MN，解答下列问题：

（1）猜想△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）请你证明CN是 O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．

Answer 1

（1）△CMN是等边三角形，
理由：在△BCN与△ACM中，

BC=AC

∠CBN=∠CAM

BN=AM

，
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠BCN-∠ACN=∠ACM-∠ACN，
即∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）连接OA．OB．OC，
在△BOC与△AOC中，

OA=OB

AC=BC

OC=OC

，
∴△BOC≌△AOC，
∴∠ACO=∠BCO=(1)/(2)∠ACB=30°，
∵∠ACB=∠MCN=60°，
∴∠ACN=60°，
∴∠OCN=90°，
∴OC⊥CN，
∴CN是 O的切线；
（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠MAB，
∴△ABD∽△AMB，
∴(AB)/(AM)=(AD)/(AB)，
∴AD•AM=AB²=2²=4．