（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ

Question

（本小题满分13分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切， 分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆 上的动点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 与 均不重合，设直线 与 的斜率分别为 ，证明： 为定值；
（Ⅲ） 为过 且垂直于 轴的直线上的点，若 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得圆的方程为 ，
∵直线 与圆相切，∴ ，即 ，       又 ，即 ， ，解得 ， ，
所以椭圆方程为 ．        ------------3分
（Ⅱ）设 ， ， ，则 ，即 ， 则 ， ，
即 ，
∴2 为定值 ．             ------------6分
（Ⅲ）设 ，其中 ．
由已知 及点 在椭圆 上可得 ，
整理得 ，其中 ．----8分
①当 时，化简得 ，
所以点3 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于5 轴的线段；                   -------------9分
②当 时，方程变形为 ，其中 ，
当

作业帮用户 2017-10-05

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