如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为O的切线．（2）若MH=32，tan∠ABC=34，求O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作O的

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的 O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．

（1）求证：MH为 O的切线．
（2）若MH=(3)/(2)，tan∠ABC=(3)/(4)，求 O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作 O的切线，两切线交于点D，AD与 O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交 O于Q点，求线段NQ的长度．

Answer 1

（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，

OC=OM

∠COH=∠MOH

OH=OH

，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是 O的切线；

（2）∵MH、AC是 O的切线，
∴HC=MH=(3)/(2)，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC=(3)/(4)，
∴(AC)/(BC)=(3)/(4)，
∴BC=4，
∴ O的半径为2；

（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是 O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO=√(13)，
∵(1)/(2)AC•OC=(1)/(2)AO•CI，
∴CI=(6√(13))/(13)，
∴由垂径定理可求得：CN=(12√(13))/(13)，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN²-CE²=ON²-OE²，
∴(144)/(13)-（2+x）²=4-x²，
∴x=(10)/(13)，
∴CE=(10)/(13)，
由勾股定理可求得：EN=(24)/(13)，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN=(48)/(13)．