线性代数选择题：设A,B为n阶矩阵,A且B与相似,则().(A)lAl=lBl(B)A与B有相同的特征值和特征向量C、入I-A=入I-B（I为单位矩阵）D、A、B均有n个线性无关的特征向量.求正确答案,最好有解释

Question

线性代数选择题：设A,B为n阶矩阵,A且B与相似,则( ). (A)lAl=lBl (B)A与B有相同的特征值和特征向量
C、 入I - A= 入I-B（I为单位矩阵） D、A、B均有n个线性无关的特征向量.求正确答案,最好有解释

Answer 1

A,B相似即存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B.
所以|B|=|P^(-1)AP|=|P|^(-1)*|A|*|P|=|A|,所以(A)正确.
多说一点的话,可以类似证明相似矩阵的特征多项式相等|入I - A|=|入I - B|.
所以相似矩阵有相同的特征值.
但是特征向量一般不同.例如BX=入X,也就是P^(-1)APX=入X,左乘P得到APX=入PX.
所以B的特征向量X其实对应到A的特征向量PX,而X自身一般不再是A的特征向量.
反例就不举了,总之(B)的后半是不对的.
(C)直接移项就是A=B,完全没道理.取个行列式还差不多.
(D)是说A,B都能对角化,这个未必成立,因为我们知道不能对角化的矩阵是存在的,但这些矩阵照样可以与别的矩阵相似.不过以下命题是成立的:如果A,B相似且A可对角化,那么B也可对角化.