若关于x的方程（x-2）2ex+ae-x=2a|x-2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A.（e22e-1，+∞）B.（e，+∞）C.（1，e）D.（1，e22e-1）

Question

若关于x的方程（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）

A. （

(e2)/(2e-1)，+∞）

B. （e，+∞）

C. （1，e）

D. （1，

(e2)/(2e-1)）

Answer 1

∵（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
∴（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0，
令g（x）=|x-2|e^x=

(x-2)ex，x≥2

(2-x)ex，x<2

，则g′（x）=

(x-1)ex，x≥2

(1-x)ex，x<2

，
∴当x≥2或x<1时，g′（x）>0，当1<x<2时，g′（x）<0，
∴g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，g（x）取得极大值t（1）=e，
又x→-∞时，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞时，g（x）→+∞，
作出g（x）的函数图象如图所示：

令g（x）=t，
由图象可知：当0<t<e时，方程g（x）=t<有3解；当t=0或t>e时，方程g（x）=t有1解；
当t=e时，方程g（x）=t有2解；当t<0时，方程g（x）=t无解．
∵方程（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0有6解，
即g²（x）-2ag（x）+a=0有6解，
∴关于t的方程t²-2at+a=0在（0，e）上有2解，
∴

4a2-4a>0

a>0

e2-2ae+a>0

0<a<e

，解得1<a<(e2)/(2e-1)．
故选D．