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喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研究,他发现:sin75°=sin(45°+30
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喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α和β为锐角).将图1(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b).如图,锐角为α的直角三角形斜边为m,锐角为β的直角三角形斜边为n,请你借助图2(a)和图2(b)证明上述结论能成立.
喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α和β为锐角).将图1(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b).如图,锐角为α的直角三角形斜边为m,锐角为β的直角三角形斜边为n,请你借助图2(a)和图2(b)证明上述结论能成立.
喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α和β为锐角).将图1(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b).如图,锐角为α的直角三角形斜边为m,锐角为β的直角三角形斜边为n,请你借助图2(a)和图2(b)证明上述结论能成立.
▼优质解答
答案和解析
如图2(a),原来内部的正方形变成了一个平行四边形,m,n为相邻两边,其夹角为α+β,
作▱ABCD的高AE,则AE=AB•sinB=msin(180°-α-β)=msin(α+β),
则S▱ABCD▱ABCD=BC•AE=n•msin(α+β)=mnsin(α+β).
如图2(b),原来的两个小正方形变成了两个矩形ABCD与CEFG,
则S矩形ABCD矩形ABCD=BC•AB=nsinβ•mcosα=mncosαsinβ,
S矩形CEFG矩形CEFG=CE•CG=msinα•ncosβ=mnsinαcosβ,
∵图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等,
∴mnsin(α+β)=mncosαsinβ+mnsinαcosβ,
化简得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
作▱ABCD的高AE,则AE=AB•sinB=msin(180°-α-β)=msin(α+β),
则S▱ABCD▱ABCD=BC•AE=n•msin(α+β)=mnsin(α+β).
如图2(b),原来的两个小正方形变成了两个矩形ABCD与CEFG,
则S矩形ABCD矩形ABCD=BC•AB=nsinβ•mcosα=mncosαsinβ,
S矩形CEFG矩形CEFG=CE•CG=msinα•ncosβ=mnsinαcosβ,
∵图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等,
∴mnsin(α+β)=mncosαsinβ+mnsinαcosβ,
化简得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
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