物体内部某质点的万有引力怎么求假设有个匀质实心球体质量为M,半径为R,现在在球体内部取某个质点,证明：质点受到的万有引力等于半径为r（r是质点到球心距离）的球体的引力.疑问：

Question

物体内部某质点的万有引力怎么求
假设有个匀质实心球体质量为M,半径为R,现在在球体内部取某个质点,证明：质点受到的万有引力等于半径为r（r是质点到球心距离）的球体的引力.
疑问：
1,请给出上面那题的证明过程,最好详细点.
2,球体内部某质点的万有引力怎么求?我只知道两个分开的物体之间的万有引力怎么求.
题目是我自己从书中概括的,如果有看不懂的请说,我会补充.
请解答我的疑惑,感激不尽!

Answer 1

为了求解这个问题,首先必须引入几何中“立体角“这个概念
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假设存在一个无穷小面元dS并且规定参考点O,那么这个面元在垂直于与O点连线方向上的投影面积与面元到O点距离r的平方的比值就定义为立体角Ω
矢量式运算满足dS×r=Ωr^3


可以类比于平面几何中的弧度角定义
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证明这个问题,实际就是证明   ”均匀厚球壳在内部产生场强处处为0“   这个命题!


假设存在一个薄球壳,球心为O,面质量密度为σ,已知P在壳内部
现在由P点任意引出两个 对顶 的立体角

现在考察两个立体角截出的面元产生的引力效应
F1=GmσS1/r1^2
F2=GmσS2/r2^2
由立体角定义得出S=Ω*(r^2)/cosa（此处为标量式）
又因为等腰三角形底角相等
因此式子又可化为
F1=GmσΩ/cosa
F2=GmσΩ/cosa


这说明,两个面元的引力抵消了
又因为此处立体角是任意选取的,所以整个球壳对于P点的引力都抵消了
对薄球壳尚且如此,那么厚球壳也是一样了


所以对于匀质实心球体中任意一点,其外部的那层球壳影响完全忽略!质点受到的万有引力完全是由于内部的球体造成的

得证