若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（C1+C2x）ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=2，y′（0）=0的解为y=．

Question

若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（C₁+C₂x）e^x，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=2，y′（0）=0的解为y=______．

Answer 1

因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C₁+C₂ x）e^x，
故 r₁=r₂=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）²=r²-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C₁+C₂ x）e^x +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C₁=0，C₂=-1．
故所求特解为 y=-xe^x+x+2．
故答案为-xe^x+x+2．