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旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维方法,请你用旋转交换等知识,解决下面的问题.如图1,△ABC
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旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维方法,请你用旋转交换等知识,解决下面的问题.
如图1,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,DC与AB交于点M,CE与AB交于点N.
(1)以点C为中心,将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后的△A′CM′
(2)在(1)的基础上,证明AM2+BN2=MN2.
(3)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,AC平分∠BCD,若BC=4,CD=3,则对角线AC的长度为多少?(直接写出结果即可,但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等)
如图1,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,DC与AB交于点M,CE与AB交于点N.
(1)以点C为中心,将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后的△A′CM′
(2)在(1)的基础上,证明AM2+BN2=MN2.
(3)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,AC平分∠BCD,若BC=4,CD=3,则对角线AC的长度为多少?(直接写出结果即可,但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等)
▼优质解答
答案和解析
(1)旋转后的△A'CM'如图1所示:
(2)连接M'N,
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∠DCE=45°,
∴∠A=∠CBA=45°,∠ACM+∠BCN=45°,
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的,
∴∠BCM'=∠ACM,CM=CM',AM=BM',∠CBM'=∠A=45°,
∴∠M'CN=∠MCN=45°,∠NBM'=90°,
∵CN=CN,
在△MCN与△M'CN中,
,
∴△MCN≌△M'CN(SAS),
∴MN=M'N,
在RT△BM'N中,根据勾股定理得:M'N2=BN2+BM'2,
∴MN2=AM2+BN2;
(3)如图2,将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D',连接C'C,
则△AC'C是等腰直角三角形,C'D=3,
∵∠C'=∠ACB=45°,
∴C',D',B,C均在同一直线上,
在△DAB与△D'AB中,
,
∴△DAB≌△D'AB(SAS),
∴DB=D'B,
在RT△BCD'中,
∵BC=4,CD=3,
∴DB=5,
∴CC'=12,
∴AC=6
.
(2)连接M'N,
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∠DCE=45°,
∴∠A=∠CBA=45°,∠ACM+∠BCN=45°,
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的,
∴∠BCM'=∠ACM,CM=CM',AM=BM',∠CBM'=∠A=45°,
∴∠M'CN=∠MCN=45°,∠NBM'=90°,
∵CN=CN,
在△MCN与△M'CN中,
|
∴△MCN≌△M'CN(SAS),
∴MN=M'N,
在RT△BM'N中,根据勾股定理得:M'N2=BN2+BM'2,
∴MN2=AM2+BN2;
(3)如图2,将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D',连接C'C,
则△AC'C是等腰直角三角形,C'D=3,
∵∠C'=∠ACB=45°,
∴C',D',B,C均在同一直线上,
在△DAB与△D'AB中,
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∴△DAB≌△D'AB(SAS),
∴DB=D'B,
在RT△BCD'中,
∵BC=4,CD=3,
∴DB=5,
∴CC'=12,
∴AC=6
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