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设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=kxy，0≤x≤y≤10，其它，求（1）常数k；（2）随机变量X与Y的边际密度函数；（3）判断随机变量X与Y是否独立；（4）P（X+Y≥1）．
题目详情
设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=
，求
（1）常数k；
（2）随机变量X与Y的边际密度函数；
（3）判断随机变量X与Y是否独立；
（4）P（X+Y≥1）．
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（1）常数k；
（2）随机变量X与Y的边际密度函数；
（3）判断随机变量X与Y是否独立；
（4）P（X+Y≥1）．
▼优质解答
答案和解析
（1）由于
f(x，y)dxdy＝1，即
dx
kxydy＝
k
x(1−x2)dx＝
k＝1
∴k=8
（2）∵fX(x)＝
f(x，y)dy=
8xydy＝4x(1−x2)，0≤x≤1
fY(y)＝
f(x，y)dx=
8xydx＝4y3，0≤y≤1
∴fX(x)＝
，fY(y)＝
（3）由（2）知，fX(x)•fY(y)＝4x(1−x2)y3≠f（x，y），0≤x≤y≤1
∴随机变量X与Y不独立
（4）P（X+Y≥1）=
f(x，y)dxdy
=8
ydy
xdx=4
y(2y−1)dy
=
．
| ∫ | +∞ −∞ |
| ∫ | +∞ −∞ |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 x |
| 1 |
| 2 |
| ∫ | 1 0 |
| 1 |
| 8 |
∴k=8
（2）∵fX(x)＝
| ∫ | +∞ −∞ |
| ∫ | 1 x |
fY(y)＝
| ∫ | +∞ −∞ |
| ∫ | y 0 |
∴fX(x)＝
|
|
（3）由（2）知，fX(x)•fY(y)＝4x(1−x2)y3≠f（x，y），0≤x≤y≤1
∴随机变量X与Y不独立
（4）P（X+Y≥1）=
| ∫∫ |
| x+y≥1 |
=8
| ∫ | 1
|
| ∫ | y 1−y |
| ∫ | 1
|
=
| 5 |
| 24 |
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