已知解的形式为U(x,y)=f(ax+y),a是一个待定的常数,求方程Uxx-9Uxy+8Uyy=0的解

Question

已知解的形式为U(x,y)=f(ax+y),a是一个待定的常数,求方程Uxx-9Uxy+8Uyy=0的解

Answer 1

ax+y=v,u=f(v)
Ux=af'(v)
Uy=f'(v)
Uxx=a^2f"(v)
Uyy=f"(v)
Uxy=af"(v)
代入方程得：a^2f"-9af"+8f"=0
(a-8)(a-1)f"(v)=0
所以有 a=8 or a=1 or f"(v)=0
由f"(v)=0---> f(v)=C1V+C2
因 此解为：U=f(8x+y) or f(x+y) or c1(ax+y)+c2