已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x+x-m（m为常数）．（1）求常数m的值．（2）求f（x）的解析式．（3）若对于任意x∈[-3，-2]，都有f（k•4x）+f（1-2x+1）>0成立，

Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x+x-m（m为常数）．
（1）求常数m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若对于任意x∈[-3，-2]，都有f（k•4^x）+f（1-2^x+1）>0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数，且定义域为R；
∴f（0）=0；
∵当x≥0时，f（x）=2^x+x-m（m为常数）；
∴f（0）=1-m，∴1-m=0；
∴m=1；
（2）由（1）知，m=1；
∴当x≥0时，f（x）=2^x+x-1；
设x<0，则-x>0，且f（x）为奇函数，所以：
f（-x）=2^-x-x-1=-f（x）；
∴f（x）=-2^-x+x+1；
∴f(x)=

2x+x-1，x≥0

-2-x+x+1，x<0

；
（3）因为当x变大时，2^x变大，x-1变大，所以2^x+x-1的值也变大；
所以f（x）在[0，+∞）上是增函数且左端点为原点；
因为，f（x）是奇函数，且f（0）=0；
所以f（x）在（-∞，0）上也是增函数，且右端点是原点；
所以f（x）在R上是增函数；
∵f（x）是奇函数；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）>0等价于f（k•4^x）>-f（1-2^x+1），等价于f（k•4^x）>f（-1+2^x+1）；
∵f（x）在R上是增函数；
∴f（k•4^x）>f（-1+2^x+1）等价于k•4^x>-1+2^x+1；
∵4^x>0∴k•4^x>-1+2^x+1等价于k>(-1+2x+1)/(4x)；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）>0对x∈[-3，-2]恒成立等价于k>((-1+2x+1)/(4x))max；
设y=(-1+2x+1)/(4x)，x∈[-3，-2]；
∴y=(-1+2x+1)/(4x)=-(1)/(4x)+(2)/(2x)=-[((1)/(2))x]2+2((1)/(2))x=-[((1)/(2))x-1]2+1；
x∈[-3，-2]，∴((1)/(2))x∈[4，8]；
∴((1)/(2))x=4时，y取最大值-8；
∴k>-8；
即实数k的取值范围为（-8，+∞）．