如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°．分别以BC、CD为边向外作△BCF和△DCE，使BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，延长AB交边FC于点H，点H在F、C两点之间，连结AE、AF、DF．（1）求证：△ABF≌△EDA．（2

Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°．分别以BC、CD为边向外作△BCF和△DCE，使BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，延长AB交边FC于点H，点H在F、C两点之间，连结AE、AF、DF．

（1）求证：△ABF≌△EDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠FBH的度数．
（3）在（2）的条件下，若B为AH的中点，求sin∠ADF的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，
∴AB=ED，FB=AD，∠ABF=∠EDA，
在△ABF和△EDA中，

AB=ED

∠ABF=∠EDA

FB=AD

，
∴△ABF≌△EDA（SAS）；

（2）∵△ABF≌△EDA，
∴∠AFB=∠DAE，
∵AE⊥AF，∠BAD=45°，
∴∠FAB+∠DAE=90°-∠BAD=45°，
∴∠FBH=∠FAB+∠AFB=∠FAB+∠DAE=45°；

（3）∵△ABF≌△EDA，
∴AD=BF，DE=AB，
∵BF=BC，DE=DC，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBH=∠BAD=45°，
∴∠FBC=90°，
延长FB交AD于G，
∴∠DGB=∠FBC=90°，
∴△ABG与△BHF是等腰直角三角形，
设AG=BG=x，
∴AB=BH=√(2)x，
∴BF=AD=2x，
∴DG=x，GF=3x，
∴DF=√(10)x，
∴sin∠ADF=(GF)/(DF)=(3x)/(√(10)x)=(3√(10))/(10)．