在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,P是△ABC内任意一点,求PA+PB+PC的最小值

Question

在Rt△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,P是△ABC 内任意一点,求PA+PB+PC的最小值

Answer 1

根据题意,设A(4,0) B(0,3) C(0,0)
P为RT△ABC内部一点,将△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP'C'
则PC=P'C',AP=AP',AC=AC'
连结CC',PP',BC'
则△ACC',△APP'均为等边三角形
所以PA=PP',C'(2,-2√3）
所以BP+PA+PC=BP+PP'+P'C'
根据两点之间,线段最短得BP+PP'+P'C'≥BC'
所以BP+PA+PC≥BC'
而B(0,3) C'(2,-2√3）
所以可得BC'=√[（2-0）²+（3+2√3）²]=√(25+12√3)
即PA+PB+PC的最小值为√(25+12√3)