已知平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，3），求满足△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标．

Question

已知平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，3），求满足△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标．

Answer 1

1）当A是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧时，设是C₁，作BD⊥y轴于点D，作C₁E⊥y轴于点D．
∵∠C₁AE+∠BAD=90°，
又∵直角△AC₁E中，∠C₁AE+∠C₁=90°，
∴∠C₁=∠BAD，
在△AC₁E和△BAD中，

∠C1＝∠BAD

∠AEC1＝∠ADB

AB＝AC1

，
∴△AC₁E≌△BAD，
∴C₁E=AD，AE=BD，
∵A（0，6），B（8，3），
∴C₁E=AD=6-3=3，AE=BD=8，
∴OE=AE-OA=8-6=2，
∴C₁的坐标是（-3，-2）；
2）当A是直角三角形的直角顶点时，当C在AB的下侧时，设是C₂，此时与C₁关于A对称，则C₂的坐标是：（3，14）；
3）当B是直角三角形的直角顶点，当C在AB的下侧时，设是C₃，作C₃F⊥BD于点F，同1）可得：△AC₁E≌△C₃FB，
则BF=C₁E=3，C₃F=AE=8，
则C₃的坐标是：（5，-5）；
4）当B是直角三角形的直角顶点，当C在AB的上侧时，设是C₄，
则B是C₃C₄的中点，设C₄的坐标是（x，y），则(3+x)/(2)=8，(−5+y)/(2)=3，
解得：x=13，y=11，
则C₄的坐标是（13，11）；
5）当C是直角顶点，则C一定在AB的中垂线上，在AB的下方时，设为C₅，作C₅H⊥y轴于H，过AB的中点G作GI⊥y轴于点I．
则△AHC₅∽△GIA，且相似比是：(AC5)/(AG)=√(2)，GI=4，
∴(AH)/(IG)=(HG)/(AI)=√(2)，
∴AH=√(2)IG=4√(2)，
∴OH=OA-AH=6-4√(2)，HG=√(2)AI=(3√(2))/(2)，
∴C₅的坐标是：（(3√(2))/(2)，6-4√(2)）；
6）当C是直角顶点，则C一定在AB的中垂线上，在AB的上方时，设是C₆，C₅和C₆关于G（4，(9)/(2)）对称，方法同4）即可求得C₆的坐标是（(16−3√(2))/(2)，3+4√(2)）．
总之，C的坐标是：（-3，-2）或（3，14）或（5，-5）或（13，11）或（(3√(2))/(2)，6-4√(2)）或（(16−3√(2))/(2)，3+4√(2)）．