(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^(m,n)-b^(m,n)如题,a,b,m,n均是正整数,a>b,且a,b互质小括号表示最大公约数.

Question

(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^(m,n)-b^(m,n)
如题,a,b,m,n均是正整数,a>b,且a,b互质
小括号表示最大公约数.

Answer 1

由乘法公式(x-y)(x^(k-1)+x^(k-2)y+...+y^(k-1)) = x^k-y^k,
可知a^(m,n)-b^(m,n) | a^m-b^m, a^(m,n)-b^(m,n) | a^n-b^n,
进而有a^(m,n)-b^(m,n) | (a^m-b^m,a^n-b^n).
只需再证明(a^m-b^m,a^n-b^n) | a^(m,n)-b^(m,n).
设c = (a^m-b^m,a^n-b^n), 则(c,b) = 1.
若不然, 设质数p | (c,b), 由p | b, p | c | a^m-b^m得p | a^m.
可得p | a, p | (a,b), 与(a,b) = 1矛盾, 故(c,b) = 1.
设d = (m,n), 由Bezout定理, 存在正整数u, v, 使um-vn = (m,n) = d.
由c | a^n-b^n, 有c | a^(vn)-b^(vn), 进而c | a^d·(a^(vn)-b^(vn)) = a^(um)-a^d·b^(vn).
而由c | a^m-b^m, 有c | a^(um)-b^(um).
相减得c | a^d·b^(vn)-b^(um) = (a^d-b^d)·b^(vn).
但(c,b) = 1, 于是c | a^d-b^d, 即(a^m-b^m,a^n-b^n) | a^(m,n)-b^(m,n).