已知{an}是递减等比数列，a2=2，a1+a3=5，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是[8，323)[8，323)．

Question

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是

[8，(32)/(3))

[8，(32)/(3))

．

Answer 1

设a_n=a₁q^n-1，
∴a₂=a₁q=2①，a₁+a₃=a₁（1+q²）=5②
①÷②得(q)/(1+q2)=(2)/(5)，解得q=2或(1)/(2)
∵{a_n}是递减等比数列，
∴q＜1
∴q=(1)/(2)③
把③代入①得a₁=4
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₂¹q+a₂¹q³+…+a₂¹q²ⁿ=

a

1 2

[(q(1−q2n))/(1−q2)]=(32[1−((1)/(2))2n])/(3)∈[8，(32)/(3))
故答案为：[8，(32)/(3))